Åtgärder

Avrundning

Från Skolbok

Version från den 15 februari 2016 kl. 11.17 av Ingemar (Diskussion | bidrag) (Skyddade Avrundning (‎[edit=autoconfirmed] (på obestämd tid) ‎[move=autoconfirmed] (på obestämd tid)))
(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)

Den här sidan är tänkt för högstadiet. Sidan innehåller en sammanfattning av regler och metoder för att avrunda mätetal eller att svara exakt utan att behöva avrunda.

Värdesiffror

Antag att du väger ett äpple och finner att vågen visar att äpplet väger 186 gram. Vad väger då äpplet egentligen? Kan du vara säker på att det väger exakt på pricken 186 gram? Nej, det kan du inte. Givetvis kan vågen vara trasig med mera, och därför visa fel vikt, men även om den inte är det kan du inte vara säker på att äpplets massa är exakt 186 gram. Säg att du istället hade haft en våg som hade kunnat väga milligram, dvs tusendels gram. Den vågen hade kanske visat 185,789 gram, eller 186,414 gram eller något annat liknande, dvs inte exakt 186 gram. Det är givetvis möjligt att den hade visat exakt 186,000 gram, men din mindre noggranna våg, som bara visar hela gram, hade inte kunnat registrera någon skillnad mellan ett äpple som väger 185,789 gram och ett som väger 186,414 gram. På samma sätt skulle en våg som bara anger vikt i tiotals gram angett att äpplet vägde 190 gram, och en badrumsvåg som typiskt har en noggrannhet på 0,5 kg hade angett att äpplet inte vägde något alls. Låt oss gå tillbaka till vågen som anger vikt i hela gram. Om du ska ange så noggrant du kan vad äpplet väger, vad ska du då svara? Rimligtvis svarar du 186 gram. Knepet är att vara så noggrann man kan, men inte låta den man pratar med tro att ens mätningar är noggrannare än vad de faktiskt är. Vore det fel av dig att ange äpplets vikt till 186,000000 gram? Ja, det vore det. Visserligen är talet 186 rent matematiskt samma sak som 186,000000, men problemet är att om du anger vikten på det sättet så kan den som läser det du skriver luras att tro att du faktiskt har vägt äpplet med en våg som kan mäta miljondels gram. Du vet ju inte om ditt äpple verkligen väger 186 gram eller om det väger 185,5 gram eller 186,45 gram. Du kanske tycker att det inte har någon betydelse om ett äpple väger ett tiondels gram mer eller mindre, och i de flesta fall har det väl inte det, men det finns andra fall där mätningars exakthet faktiskt har stor betydelse. Det gäller inte minst inom vetenskapliga sammanhang. För att komma runt sådana här problem har man gjort en del överenskommelser. När man anger mätetal är det viktigt att hålla reda på hur många värdesiffror man räknar med. En värdesiffra är en siffra som har ett faktiskt värde, dvs en siffra som bidrar med någon form av information om hur stort ett tal är. Om ett äpple väger 186 gram har vi tre siffror (1, 8 och 6) som på något sätt faktiskt anger vikten. Alltså har den viktangivelsen tre värdesiffror. Om vi däremot har en våg som bara kan visa hela tiotals gram så kommer samma äpple att anses väga 190 gram. Här har den sista nollan ingen betydelse: eftersom vågen bara kan ange vikten i hela tiotals gram kommer den sista siffran alltid att vara en nolla när vi väger på den vågen, oavsett vad äpplet väger. Här har vi alltså bara två värdesiffror. Här kommer våra första regler om värdesiffror:

  1. Alla siffror mellan 1 och 9 (dvs alla siffror utom 0) räknas alltid som värdesiffror.
  2. Om ett tal slutar på en eller flera nollor, och inga decimaler finns angivna, går det inte att säga utifrån enbart talet om dessa nollor är värdesiffror eller inte. Om vi väger ett äpple på en våg med en noggrannhet på 1 gram, och vågen visar 190 gram, så räknas den sista nollan som en värdesiffra eftersom den bidrar med information om vad äpplet väger (den hade ju kunnat vara något annat än en nolla). Om en våg som bara kan visa hela tiotals gram visar att ett äpple väger 190 gram så räknas inte nollan.
  3. En nolla som kommer först i ett tal (dvs före någon siffra som inte är en nolla) räknas inte som en värdesiffra. I talet 0,0000121 finns det tre värdesiffror, eftersom nollorna som inleder talet inte räknas. De tre värdesiffrorna är 1, 2 och 1.
Varför räknar man inte en nolla som inleder ett tal? Vi sade tidigare att en värdesiffra är en siffra som ger oss någon form av faktisk information. Kan inte en nolla som inleder ett tal ge någon information? Det är ju trots allt skillnad mellan 0,121 och 0,0000121, rent matematiskt. Problemet är det, att man alltid kan få godtyckligt många nollor i början av ett tal genom att byta enhet. Ta vårt 186-gramsäpple som exempel. 186 har tre värdesiffror, och värdesiffrorna talar om, i princip, hur noggrann vår våg är. Vågens noggrannhet är oberoende av vilken enhet vi anger äpplets vikt i. Om vi anger äpplets vikt som 186 gram, 0,186 kilo eller 0,000186 ton påverkar inte hur noggrann våg vi har; den har fortfarande samma noggrannhet. Därför räknas inte inledande nollor.

Ovan finns ett antal exempel på när nollor inte räknas som värdesiffror. Men i vissa fall ska nollor faktiskt räknas. En nolla som kommer mellan två siffror som är värdesiffror räknas. Om vårt äpple hade vägt 201 gram hade nollan i mitten räknats som en värdesiffra, eftersom den kommer mellan två andra värdesiffror (2 och 1). Samma hade gällt om något hade vägt 2001 gram (fast då hade det nog inte varit ett äpple). Då har vikten fyra värdesiffror eftersom båda nollorna räknas. En nolla efter ett decimalkomma räknas alltid, om det finns någon annan siffra än en nolla före decimalkommat. Det gör att 0,00121 har tre värdesiffror, medan 1,00121 har sex värdesiffror. På samma sätt har 100 en, två eller tre värdesiffror (med nollor i slutet på tal utan angivna decimaler vet man inte så noga hur de ska räknas; det får framgå av sammanhanget, se ovan), medan 100,0 har fyra värdesiffror. Ettan i början räknas (alla siffror utom 0 räknas ju alltid), nollan i slutet räknas eftersom den kommer efter ett decimalkomma och det finns andra värdesiffror före decimalkommat, och de två övriga nollorna räknas eftersom de kommer mellan två värdesiffror (den första ettan och den sista nollan). Det här kan man använda sig av om man vill specificera hur många värdesiffror man har när man har ett tal som slutar på en eller flera nollor utan decimaler. Vi nämnde ovan ett exempel med ett äpple som vägde 190 gram, och påpekade att man då inte kunde veta, enbart utifrån det, om äpplet verkligen vägde 190 gram eller om det var vägt på en våg som bara kunde ange vikter på 10 gram när. Låt oss säga att vi vill betona att äpplet verkligen väger 190 gram. Inte 191, inte 189 utan 190. Då kan vi använda oss av principen att nollor efter ett decimalkomma, så länge de föregås av andra siffror, räknas som värdesiffror. Om vi skriver att äpplets vikt är 0,190 kilo så har vi tre värdesiffror (alla siffror efter decimalkommat). Om vi skriver att vikten är 0,19 kilo så har vi bara 2.

Beräkningar med värdesiffror

Antag att vi behöver göra någon form av beräkning, och den är baserad på uppmätta mätvärden. Hur ska vi veta hur noggrant vi ska svara? Låt oss ta ett exempel i form av en låtsasuppgift:

Exempel 1 Vid OS i London 2012 sprang Usain Bolt sträckan 100,0 meter på 9,63 sekunder. Vilken var hans medelhastighet i m/s? Lösning¨Om vi vet sträckan och tiden är hastigheten sträckan dividerat med tiden. Sträckan är angiven i meter och tiden i sekunder, varför vi inte behöver göra någon enhetsomvandling. Sträckan anges till 100,0 meter. Den sista nollan kommer efter decimalkommat, och innan den har det funnits en siffra som inte är en nolla, varför den ska räknas som värdesiffra. Då ska också de två övriga nollorna räknas som värdesiffror, eftersom de står mellan två värdesiffror. Sträckan är alltså angiven med fyra värdesiffror. Tiden är angiven med tre värdesiffror, eftersom alla siffror som är skilda från 0 räknas som värdesiffror. Medelhastigheten är 100,0/9,63=10,384215991692627206645898234683 m/s. Hur många värdesiffror ska vi ange? Man utgår från det mätvärde som har minst antal värdesiffror. I det här fallet är det tiden, som har tre värdesiffror. Alltså ska vårt svar också ha tre värdesiffror. Avrundat till tre värdesiffror blir vårt svar 10,4 m/s. Svar: Usain Bolts medelhastighet var cirka 10,4 m/s."

Om man har flera mätvärden med olika många värdesiffror går man alltid efter det mätvärde som har minst antal värdesiffror, och låter det avgöra antalet värdesiffror i svaret.

Avrundning

Ibland kan man räkna ut ett svar exakt, men många gånger antingen kan man det inte eller behöver det inte. Då kan man avrunda, dvs svara ungefärligt. Det finns en massa olika alternativa sätt som man kan avrunda tal på, men det vi ska gå igenom är det vanligaste sättet. Där är regeln att man tittar på den siffra som är den första som inte ska vara med i det avrundade resultatet. Om den siffran är en femma eller högre avrundar man uppåt, om den är lägre än 5 avrundar man neråt. Om man ska avrunda 0,8 till heltal blir det alltså 1, eftersom 8 är den första siffra som ska bort och 8 är högre än 5. 0,5 avrundas också uppåt till 1, medan 0,4 avrundas neråt till 0. 5 avrundas uppåt, som sagt, vilket helt enkelt är något man kommit överens om. För negativa tal gäller att -23,5 avrundat till heltal blir -23, eftersom -23 är mer än -23,5. Regeln att avrunda uppåt gäller alltså också här. Samma grundregel gäller om man ska avrunda t ex till en decimal, dvs 0,15 avrundas till 0,2 medan 0,14 avrundas till 0,1.

Ett situation som ibland kan leda till förvirring är den som uppkommer om man t ex ska avrunda 1,48 till heltal. Å ena sidan är det närmaste heltalet 1. Å andra sidan kan man tänka att åttan gör att fyran ska avrundas uppåt, så att det bvlir 1,5, och 1,5 ska ju enligt konventionen avrundas till 2. Här är det dock det förstnämnda som gäller. 1,48 ska alltså avrundas till1, om det ska avrundas till ett heltal. Om ett tal otvetydigt är närmare ett tal än ett annat ska det nämligen alltid avrundas åt det hållet.

Att svara exakt

Ibland kan man hamna i situationer där man förväntas svara exakt istället för att avrunda. Det är lätt många gånger, men kan också ställa till det. Vissa tal har nämligen oändligt många decimaler. Förr eller senare måste man sluta skriva decimaler, och därmed blir talet inte exakt. En del av dessa tal kan skrivas i exakt form ändå, nämligen som bråk. Ett tal som kan skrivas i exakt form som ett bråk kallas för ett rationellt tal. Till de rationella talen hör också heltalen, eftersom 3 till exempel kan skrivas i bråkform som 3/1. Andra rationella tal är 0,25(=1/4), 11,3(=113/10) och -0.2854 (=-1427/500). Många rationella tal har oändligt många decimaler. Det som kännetecknar ett rationellt tal med oändligt många decimaler är att förr eller senare börjar decimalerna upprepa sig, så att det är en kortare eller längre serie siffror som kommer i samma ordning om och om igen. 0,33333.... (punkterna betecknar att raden med treor fortsätter i all oändlighet) består till exempel av treor som fortsätter i all oändlighet. Talet 0,142857142857142857... består av siffersekvensen 142857. Talet 4,58437373737373737... fortsätter men en oändligt lång rad av omväxlande treor och sjuor, även om decimalraddan inte börjar på det sättet. Faktum är att alla tal som har den här egenskapen, dvs att decimalerna förr eller senare börjar upprepa sig på det här sättet, kan skrivas i exakt form som bråk. Tal med oändligt många decimaler som inte upprepar sig på det här sättet kallas för irrationella tal. De irrationella och de rationella talen tillsammans kallas för reella tal.

Vi ska nu lära oss hur man kan skriva ett tal med så kallat periodisk decimalutveckling, dvs en sekvens av decimaler som upprepar sig i all oändlighet, som ett bråk. Vi ska göra det utifrån ett exempel. Antag att vi har talet 0,2828282828..., och så vidare, dvs siffrorna 28 upprepar sig om och om igen. Hur gör vi om vi vill skriva det exakt? Vi kommer att låta x vara 0,2828282828... i det här fallet. Det första vi ska göra är att multiplicera vårt tal med tio så många gånger som behövs för att få exakt en omgång av vår siffersekvens före decimalkommat. Vi börjar så här:

  • x=0,2828282828...
  • 10x=2,8282828282...
  • 100x=28,282828282828...

Nu har vi lyckats med det första steget. Vi har fått en omgång av våra decimaler före decimalkommat. Nästa steg är att vi drar bort x från det här talet vi har fått:

  • 100x-x=28,282828282828...-0,282828282828...=28

Det finurliga är att eftersom tvåan och åttan upprepar sig i all oändlighet får vårt tal inte färre decimaler när vi multiplicerade det med hundra, utan antalet decimaler är lika många som innan. Därför kan vi dra bort vårt ursprungliga tal, och blir då av med alla decimaler. Vi vet alltså att 100x-x=99x=28, och då kan vi lösa ut x, som blir 28/99. Det går inte att förkorta mer, utan vårt svar är att talet 0,2828282828... kan skrivas i exakt form som 28/99 (räkna ut på miniräknaren själv och se!). Generellt gäller att man alltid kan få bråkformen av ett tal med en viss följd oändligt upprepade decimaler genom att låta bråkets täljare vara decimalerna som ska upprepas (i det här fallet 28) och låta nämnaren bestå av lika många nior som täljaren har siffror. Ibland kan man förkorta bråket ytterligare, men det gick inte här.

En lite märklig grej som följer ur detta kan du se om du försöker skriva 0,99999... (oändligt många nior efter decimalkommat) i exakt form och förkorta så långt som möjligt. Du får själv räkna ut vad det blir. Kanske blir du förvånad över resultatet, men det betyder inte att du har räknat fel...

Man kan bevisa (men det tänker inte jag göra här), att ett bråk har ett ändligt antal decimaler om, och endast om, de enda primtalsfaktorerna som finns i nämnaren men saknas i täljaren är 2 och/eller 5. Annars kommer decimalerna att upprepas på det här sättet.

Irrationella tal

De irrationella talen är de som inte kan skrivas exakt i bråkform. De är faktiskt fler än de rationella talen, även om det dröjde till 1800-talet innan man hade de matematiska verktygen som krävdes för att bevisa detta. Det beviset ligger dock långt över högstadiematematiken i sin komplexitet, så vi kommer inte att gå in på det. Ett irrationellt tal kan alltså inte skrivas exakt, utan det måste antingen avrundas eller så får man skriva talet "outräknat". En del viktiga irrationella tal har fått särskilda matematiska symboler, som kvoten mellan en cirkels omkrets och diameter (den är samma för alla cirklar oavsett storlek, och det talet betecknas med den grekiska bokstaven <math>\pi</math>, som uttalas pi och som börjar med 3,141592653589...). Idag är flera miljarder decimaler till pi kända, och till skillnad från de rationella talen upprepar de sig inte. Ett annat exempel är <math>\sqrt{2}</math>, dvs det tal som multiplicerat med sig självt blir 2. Om svaret i en uppgift är <math>\sqrt{2}</math> och man ombeds at svara exakt så får man helt enkelt svara just så. Det talet går helt enkelt inte att skriva i siffror.

Här kommer några räknaregler om irrationella tal:

  1. Irrationella tal kan inte skrivas exakt annat än med symboler.
  2. Summan av två rationella tal är alltid ett rationellt tal.
  3. Differensen mellan två rationella tal är alltid ett rationellt tal.
  4. Produkten och kvoten mellan två rationella tal är alltid rationella tal.
  5. Summan, differensen, produkten och kvoten mellan ett rationellt och ett irrationellt tal är alltid ett irrationellt tal.
  6. Om två irrationella tal adderas, subtraheras, divideras eller multipliceras kan resultatet vara antingen rationellt eller irrationellt.
  7. <math>\pi</math> är ett irrationellt tal.
  8. Om kvadratroten ur ett naturligt tal (ett positivt heltal) inte är ett naturligt tal så är det ett irrationellt tal.